Правило прямоугольника в матрице

Правило прямоугольника в матрице

Правило прямоугольника в матрице

На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет). Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1). Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20.

Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40.

Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях.

Внимание Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ:

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку».

Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования.
Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит.

Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание: термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными .

Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений, причём там выбран другой базис.

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: .

Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований.
Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ:

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Решение: присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса:

(1) Первую и третью строки поменяли местами.

Правило прямоугольника матрица

Правило прямоугольника Правило прямоугольника применяется в методе Жордана-Гаусса.

Алгоритм пересчета таблиц по правилу прямоугольника. Выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

СТЭ — элемент старого плана, РЭ — разрешающий элемент, А и В — элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Назначение сервиса.
Онлайн-калькулятор Правило прямоугольника предназначен для пересчета таблиц методом жордановских преобразований.

Примечание. Данный метод не стоит путать с формулой прямоугольников.

Пример №1.

Решение.
x25 =x25 — x45*x27/x47 = -3 — (-8)*5/2 = -3+20 = 17

Пример №2. По приведенной ниже симплекс-таблице определите, является ли соответствующее ей базисное решение оптимальным. Если решение не является оптимальным, осуществите пересчет таблицы.

ПЧ X3 X4 F -52-1X1421X2312 Решение.
Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм.

Важно

Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном.
Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Решить методом Гаусса систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы.
Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением.

Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Живой пример авангарда можно посмотреть во втором задании урока о решении системы в различных базисах.

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей mathprofi.ru:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел), я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения.

Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.

Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение: это первое задание урока Метод Гаусса для чайников, где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: , а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку.

К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ:

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями.

Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования.

Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2.

Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно.

Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ: общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением.

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными .

Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные.

Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными .

Источник: http://osago24-spb.ru/pravilo-pryamougolnika-v-matritse

Методы вычисления определителей

Правило прямоугольника в матрице

Оглавление — Линейная алгебра

При вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го) определение, как правило, не используется, так как это приводит к громоздким выражениям и требует большого количества арифметических операций.

Гораздо эффективнее использовать свойства определителей. Наиболее важными для вычисления определителей являются свойства 3, 6, 9.

Эти свойства можно назвать элементарными преобразованиями определителя, что соответствует элементарным преобразованиям матрицы.

I. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.

При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е. привести его к виду, удобному для вычислений.

Метод приведения определителя к треугольному виду

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем вычислить согласно п.3 замечаний 2.2.

Итак, метод состоит из двух шагов.

1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.

2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.

Пример 2.12. Вычислить определитель четвёртого порядка

[math]\det{A}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix},[/math] приводя его к треугольному виду.

Решение. 1. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду.

Взяв элемент [math]a_{11}=1[/math] первой строки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю.

Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-4):

[math]\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.[/math]

Заметим, что при использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется.

Умножим элементы второй строки на (-1), а элементы третьей строки — на 0,5, при этом, чтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель разделить на [math](-1)\cdot0,\!5=-0,\!5[/math], т.е. умножить на (-2):

[math]\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.[/math]

В полученной матрице нужно сделать равными нулю элементы [math]a_{32}=-1[/math] и [math]a_{42}=-7[/math] второго столбца, стоящие ниже главной диагонали. Для этого берем в качестве ведущего элемента [math]a_{22}=1[/math] и прибавляем к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на 1 и на 7 соответственно:

[math]-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}[/math]

Осталось сделать равным нулю элемент [math]a_{43}[/math]. К четвертой строке прибавим третью, умноженную на 2 (определитель при этом не изменится):

[math]-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}.[/math]

Получили определитель треугольного вида.

2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы, стоящие на главной диагонали:

[math]\det{A}= -2\cdot\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}= -2\cdot1\cdot1\cdot(-2)\cdot40=160.[/math]

Этот метод также основан на элементарных преобразованиях определителя.

1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного.

2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить.

Пример 2.13. Вычислить определитель четвёртого порядка методом понижения порядка.

[math]\det{A}= \begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}[/math]

Решение. 1. В качестве ведущего элемента возьмем [math]a_{24}=1[/math], а все остальные элементы второй строки при помощи элементарных преобразований сделаем равными нулю. Для этого ко второму столбцу прибавим четвертый, умноженный на (-3):

[math]\begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}.[/math]

2. Разложим определитель по второй строке

[math]\begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}= 1\cdot(-1){2+4}\cdot \begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}.[/math]

Получили определитель третьего порядка.

Вынесем за знак определителя множитель (2) из второго столбца (точнее все элементы второго столбца умножим на 0,5 , а получившийся определитель умножим на 2):

[math]\begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}.[/math]

Прибавим ко второму столбцу первый

[math]2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}.[/math]

Полученный определитель разложим по второму столбцу

[math]2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}= 2\cdot(-5)\cdot(-1){1+2}\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}.[/math]

Получили определитель 2-го порядка.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2)

[math]10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}.[/math]

Разложим определитель по второй строке и заменим определитель первого порядка единственным его элементом

[math]10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}= 10\cdot(-2)\cdot(-1){2+1}\cdot1=20.[/math]

Результат совпадает с полученным в примере 2.7.

Метод изменения всех элементов определителя

При вычислении определителей бывает полезно изменить все его элементы, умножив их на одно и то же число, не равное нулю, либо прибавить к каждому элементу одно и то же число. Найдем формулы изменения определителя при этих преобразованиях.

Пусть дана квадратная матрица [math]A[/math] n-го порядка. Из свойства 6 следует, что при умножении всех элементов определителя n-го порядка на число [math]\lambdae0[/math] определитель умножается на число [math]\lambdan\colon\,\det(\lambda A)=\lambdan\det{A}[/math].

Рассмотрим теперь определитель матрицы [math]B[/math], элементы которой [math]b_{ij}=a_{ij}+x[/math] получены из соответствующих элементов матрицы [math]A[/math] прибавлением числа [math]x:[/math]

[math]\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x& a_{12}+x& \cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1}+x& a_{n2}+x& \cdots& a_{nn}+x \end{vmatrix}.[/math]

Применяя свойство 7 к первому столбцу этого определителя, получаем сумму определителей

[math]\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x&a_{12}+ x&\cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&a_{n2}+ x&\cdots& a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}x&a_{12}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&a_{n2}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}.[/math]

То же свойство применяем к каждому определителю (“раскладывая” второй столбец) и т.д.

В итоге получим сумму [math]2n[/math] определителей n-го порядка, причем определители, имеющие по два и более столбцов из элементов, равных [math]x[/math], равны нулю (по свойству 4).

Поэтому в сумме остаются только [math](n+1)[/math] слагаемых: определитель матрицы [math]A[/math] и [math]n[/math] определителей вида

[math]D_{j}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1\,j-1}&x& a_{1\,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots& \vdots&\vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n\,j-1}&x&a_{n\,j+1}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix},[/math]

отличающихся от определителя матрицы [math]A[/math] только j-м столбцом. Раскладывая этот определитель по j-му столбцу, получаем сумму алгебраических дополнений элементов этого столбца, умноженную на [math]x:[/math] [math]D_{j}= x\cdot\sum_{i=1}{n}A_{ij}.[/math]

Следовательно, сумма всех таких определителей [math]D_{j}\,(j=1,2,\ldots,n)[/math] равна сумме алгебраических дополнений всех элементов матрицы [math]A[/math], умноженной на [math]x:[/math]

[math]\sum_{j=1}{n}D_{j}= x\cdot\sum_{j=1}{n}\sum_{i=1}{n}A_{ij}\,.[/math]

Окончательно получаем, что при увеличении всех элементов определителя на число [math]x[/math], определитель увеличивается на сумму всех алгебраических дополнений, умноженную на число [math]x:[/math]

[math]\begin{vmatrix}a_{11}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+ x\cdot\sum_{i=1}{n} \sum_{j=1}{n}A_{ij}\,.[/math]

Пример 2.14. Вычислить определитель n-го порядка

[math]D_n= \begin{vmatrix}a_1&x&x&\cdots&x\\ x&a_2&x&\cdots&x\\ x&x&a_3&\cdots&x\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&x&x&\cdots&a_n\end{vmatrix}.[/math]

Решение. Рассмотрим определитель диагональной матрицы [math]A[/math]

[math]\det{A}= \begin{vmatrix}a_1-x&0&0&\cdots&0\\ 0&a_2-x&0&\cdots&0\\ 0&0&a_3-x&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_n-x\end{vmatrix}.[/math]

Искомый определитель [math]D_n[/math] получается прибавлением к каждому элементу определителя матрицы [math]A[/math] числа [math]x[/math]. Поэтому

[math]D_n=\det{A}+x\cdot \sum_{i=1}{n}\sum_{j=1}{n}A_{ij}\,.[/math]

Определитель диагональной матрицы [math]A[/math] равен произведению диагональных элементов:

[math]\det{A}= (a_1-x)\cdot(a_2-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x)=\prod_{i=1}{n}(a_i-x).[/math]

Осталось вычислить сумму алгебраических дополнений всех элементов матрицы [math]A[/math]. Заметим, что алгебраическое дополнение недиагонального элемента равно нулю ([math]A_{ij}[/math] при [math]ie j[/math], так как дополнительный минор содержит нулевой столбец). Дополнительный минор диагонального элемента — это определитель диагональной матрицы, т.е.

[math]A_{ij}= (a_1-x)\cdot\ldots\cdot(a_{i-1}-x)\cdot(a_{i+1}-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x).[/math]

Поэтому

[math]D_{n}= \prod_{i=1}{n}(a_i-x)+x\cdot\sum_{k=1}{n}\prod_{i=1}{k}(a_i-x).[/math]

Этот метод заключается в том, что исходный определитель [math]\Delta_n[/math] n-го порядка выражается через определители [math]\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}[/math] того же вида, но меньшего порядка. Получается рекуррентное уравнение

[math]\Delta_n= f(\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}).[/math]

Решая это уравнение, находим формулу, выражающую определитель [math]\Delta_n[/math] через определители [math]\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m[/math] и порядок [math]n:[/math]

[math]\Delta_n= F(\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m).[/math]

В последнюю формулу подставляем определители [math]\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m[/math] невысокого [math](m

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=metody-vychisleniya-opredelitelyei

Решение производственной задачи табличным симплекс-методом

Правило прямоугольника в матрице

ЗАДАЧИ

   25.11.2013   66 435   0  

Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума) линейного программирования называется симплекс-методом.

Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования.

Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода.

Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи, которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.

Исходные данные задачи на симплекс-метод

Предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3-х станках.

Нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:

Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:

Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:

Цель производственной задачи

Составить такой план производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.

Решение задачи табличным симплекс-методом

(1) Обозначим X1, X2, X3, X4 планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: (X1, X2, X3, X4)

(2) Запишем ограничения плана в виде системы уравнений:

(3) Тогда целевая прибыль:

То есть прибыль от выполнения производственного плана должна быть максимальной.

(4) Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X5, X6, X7).

(5) Примем следующий опорный план:

X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80

(6) Занесем данные в симплекс-таблицу:

!! В последнюю строку заносим коэффициенты при целевой функции и само ее значение с обратным знаком;

(7) Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю) отрицательное число.

Вычислим b = Н / Элементы_выбранного_столбца

Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее.

Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент. Меняем базис на переменную соответствующую разрешающему элементу (X5 на X1).

(8) Теперь необходимо пересчитать все элементы симплекс-таблицы, кроме столбца b. Вот как это можно сделать:

  • Сам разрешающий элемент обращается в 1.
  • Для элементов разрешающей строки – aij(*) = aij / РЭ (то есть каждый элемент делим на значение разрешающего элемента и получаем новые данные).
  • Для элементов разрешающего столбца – они просто обнуляются.
  • Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника.

aij(*) = aij – ( A * B / РЭ )

Как видите, мы берем текущую пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника.

Это произведение (A * B) делим на разрешающий элемент (РЭ). И вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (aij) то, что получилось.

Получаем новое значение – aij(*).

(9) Вновь проверяем последнюю строку (c) на наличие отрицательных чисел. Если их нет – оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи. Если есть – план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.

Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию вычислений.

(10) Так как в последней строке нет отрицательных элементов, это означает, что нами найден оптимальный план производства! А именно: выпускать мы будем те изделия, которые перешли в колонку «Базис» – X1 и X2.

Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C). Осталось перемножить найденные объемы выпуска изделий 1 и 2 с прибылью на 1 шт.

, получим итоговую (максимальную!) прибыль при данном плане производства.

ОТВЕТ:

X1 = 32 шт., X2 = 20 шт., X3 = 0 шт., X4 = 0 шт.

P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2 196 руб.

Галяутдинов Р.Р.

 © Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.

Еще можно почитать:

Источник: http://galyautdinov.ru/post/proizvodstvennaya-zadacha-simpleks-metod

Метод Жордана-Гаусса

Алгоритм метода Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений

1) Выписать расширенную матрицу системы. (Что такое расширенная матрица читать здесь)

2) Выбрать ведущий элемент (любой ненулевой элемент) в любой строке и в любом столбце, кроме последнего. ( Строка и столбец, в которых он находится называют ведущими ).

3) Выполнить жорданово исключение с выбранным ведущим элементом. Отметить ведущую строку и все строки, помеченные ранее.

4) Если хотя бы одна строка имеет вид: (0 0 … 0 : b ), b ≠ 0, то система решений не имеет. Ответ. Система несовместна.

5) Если все ненулевые строки матрицы помечены, то выписать систему и найти ее общее решение. Ответ. Общее решение системы.

6) Выбрать ведущий элемент в любой непомеченной строке и в любом столбце, кроме последнего. Перейти к пункту 3.

Выполнить жорданово исключение с ведущим элементом аij означает выполнить следующие действия:

1) разделить ведущую строку на ведущий элемент;

2) заполнить свободные места в ведущем столбце нулями;

3) остальные элементы матрицы пересчитать по формуле, называемой «правилом прямоугольника».

Изобразим это правило схематически. Ведущий элемент будем выделять рамкой. Стрелками показаны элементы, которые перемножаются в числителе дроби. Эти элементы расположены на диагоналях прямоугольника, образованного ведущим элементом аij, пересчитываемым элементом аkl и элементами, которые находятся на пересечении ведущей строки и столбца l, ведущего столбца и строки k.

Замечания.

1. В числители дроби всегда от произведения с ведущим элементом (вне зависимости от того в какой вершине прямоугольника стоит ведущий элемент) вычитается произведение элементов, которые находятся на пересечении ведущей строки и столбца l, ведущего столбца и строки k.

2. Если в ведущей строке есть нулевой элемент, то столбец, в котором он находится, при жордановом исключении не меняется.

3. Если в ведущем столбце есть нулевой элемент, то строка, в которой он находится, при жордановом исключении не меняется.

Рассмотрим примеры решения систем методом Жордана-Гаусса

РЕШЕНИЕ:

Выпишем расширенную матрицу системы

Выбираем ведущий элемент (ведущий элемент будем выделять рамкой):

Выполним жорданово исключение с ведущим элементом а13=1:

1) разделим ведущую строку на 1;

2) заполним свободные места в третьем столбце нулями;

3) в ведущем столбце во второй строке есть нулевой элемент (а23=0), поэтому вторую строку перепишем без изменений (замечание 3);

4) остальные элементы матрицы (а именно четыре оставшихся элемента третьей строки) пересчитаем по «правилу прямоугольника».

В получившейся матрице пометим галочкой первую строку:

Теперь в этой матрице выберем ведущий (любой ненулевой) элемент в любой непомеченной строке и в любом столбце, кроме последнего, например, а21=1.

Выполним жорданово исключение с ведущим элементом а21=1:

1) разделим ведущую строку на 1;

2) заполним свободные места в первом столбце нулями;

3) в ведущей строке в третьем столбце есть нулевой элемент (а23=0), поэтому третий столбец перепишем без изменений (замечание 2);

4) остальные элементы матрицы пересчитаем по «правилу прямоугольника».

Пометим галочками ведущую (вторую) строку и строку, помеченную ранее.

В результате получится матрица:

В последней матрице все элементы третьей строки, кроме элемента расположенного в последнем столбце, равны нулю. Следовательно, данная система несовместна (п. 4 в алгоритме метода Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений).

ОТВЕТ: Система несовместна.

Показать ответ

Показать решение

Согласно алгоритму метода Жордана-Гаусса составляем расширенную матрицу системы

Выбираем ведущий элемент и выполняем над матрицей последовательность жордановых исключений.

В последней матрице все строки помечены. Значит, выполнение жордановых исключений закончено, и эта матрица является расширенной матрицей системы, равносильной исходной системе уравнений. Это решение непосредственно определяется записью системы уравнений, соответствующей последней матрице:

Система имеет единственное решение.

ОТВЕТ:

Скрыть

Скрыть ответ

Показать ответ

Показать решение

Согласно алгоритму метода Жордана-Гаусса составляем расширенную матрицу системы

Выбираем ведущий элемент и выполняем над матрицей последовательность жордановых исключений.

В последней матрице все строки помечены. Значит, выполнение жордановых исключений закончено, и эта матрица является расширенной матрицей системы, равносильной исходной системе уравнений. Это решение непосредственно определяется записью системы уравнений, соответствующей последней матрице:

В первом уравнении коэффициент при х4 равен единице, поэтому в этом уравнении выразим х4.

Во втором уравнении коэффициент при х1 равен единице, поэтому выразим х1.

В третьем уравнении коэффициент при х2 равен единице, поэтому выразим х2.

Получаем:

Система имеет бесконечное множество решений.

Пусть

ОТВЕТ:

Скрыть

Скрыть ответ

Источник: https://math-around.ru/view_post.php?id=96

Конспект лекц. 1-ый семестр

Правило прямоугольника в матрице

О п р е д е л е н и е. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел,состоящая из m строк и n столбцов.   –  порядок или размер матрицы. Например, матрица

имеетразмер   ,  так как в этойматрице количество строк равно , а количество столбцов равно . Числа, из которых состоит матрица, называются элементами. Вобщем случае матрицы символически обозначаются следующим образом

.

Типыматриц:

1.            Прямоугольные  –  .

2.            Квадратные  –  .

3.            Трапецеидальные  – прямоугольные матрицы, у которых   при    или .

4.            Треугольные  – квадратные матрицы, у которых   при    или .

5.            Диагональные  – квадратные матрицы, у которых   при   .

6.            Единичнаяматрица  –  диагональная матрица, у которой .

7.            Траспонированнаяматрица – это матрица, которая получается из матрицы  путём замены  в ней строк столбцами.

П р и м е р ы  м а т р и ц.

   – прямоугольная  матрица,

  – квадратная матрица,

  –  трапецеидальная матрица,

  – треугольная матрица,

  –  диагональная матрица,

  –  единичная матрица.

  –  транспонировання матрица для матрицы 

 

С матрицами можно выполнять следующие операции:

1)Сложение матриц. Матрица  называется суммойматриц , если ,  Матрица А и Вдолжны быть одного и того же порядка, Матрица С получится того же порядка, что и матрицы А и В.

П р и м е р. Найдите сумму матриц   и .

Р е ш е н и е.  Элементы матрицы   получаем путёмсуммирования соответствующих элементов матриц А и В

       2) Умножениематрицы на число. Матрица  называетсяпроизведением матрицы  на число если .

П р и м е р.Найдите произведение матрицы   на число  .

Р е ш е н и е.  Элементы матрицы  получаем путёмумножения элементов матрицы  на число

       3) Умножениематриц.  Матрица  называетсяпроизведением матрицы    размером   и матрицы   размером , если элементы матрицы   вычисляются поформуле

                                                          (1)

Перемножатьможно только матрицы, у которых количество столбцов первой равно количествустрок второй. Произвольные матрицы перемножать нельзя.

П р и м е р. Найдите произведение матриц

  и  .

       Р е ш е н и е. Согласно формуле(1),  имеем

,

,

,

,

,

.

Значит,

.

Рассмотренные операции с матрицами обладают теми же свойствами, что и операциисложения и умножения для вещественных чисел, за исключением произведенияматриц, которое не коммутативно, т.е. . В этом можно убедиться с помощью следующего примера дляматриц   и   . Находим произведения

,

.

Каквидим, .

2.3. Определители

Каждой квадратной матрице по определённому правилуможно поставить в соответствие единственное число.  Это число называется определителем исимволически обозначается

                                .

Порядок определителя равен порядку квадратной матрицы.

Определительвторого порядка вычисляется следующим образом

,                                               (2)

т.е.  из произведения элементов, стоящих на такназываемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижнийугол), вычитается произведение элементов, находящихся на  побочной диагонали (идущей из левого нижнегов правый верхний угол).

П р и м е р. Вычислите определитель матрицы .

Ре ш е н и е. Значения элементовматрицы ,  т.е.

Подставляемв формулу (2) и получаем

.

       Определительтретьего порядка вычисляется с помощью формулы

                 (3)

З а м е ч а н и е.  Чтобы легчезапомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников(правило Саррюса). Оно заключается в следующем. Элементы, произведения которых входятв определитель со знаком «+», располагаются на главной диагонали и в вершинахтреугольников,  симметричных относительноглавной диагонали     

Элементы,произведения которых входят в определитель со знаком «–», располагаютсяаналогичным образом относительно побочной диагонали

П р и м е р. Вычислите определитель матрицы .

Р е ш е н и е. Подставляем значения элементов матрицы в формулу (3) и находимвеличину заданного определителя

       Для вычисления определителей третьегопорядка можно пользоваться ещё  правилом   «35». Согласно этому правилу к заданной матрице

добавляютещё первые два столбца

.

Элементы, произведения которых входят в определительсо знаком «+», располагаются на главной диагонали и на отрезках, параллельныхглавной диагонали

.

Элементы, произведения которых входят в определительсо знаком «–», располагаются на побочной диагонали и на отрезках, параллельныхпобочной диагонали

.

Определитель равен сумме указанныхпроизведений элементов  с учетом ихзнаков.

Основныесвойства определителей

Рассмотрим основные свойства определителей 2-го и 3-гопорядка

С в о й с т в о  1. Определитель неизменяется при транспонировании, т.е.

.                                                      (4)

Действительно, 

,

=,

Из чего следуетсправедливость равенства (4).

  Из свойства 1следует, что  свойствами определителей,сформулированные для строк будут такими же как и для столбцов. Поэтому  следующие свойства определителей будут формулироватьсятолько для строк.

С в о й с т в о 2. При умножении элементов строки определителя нанекоторое число  определитель умножаетсяна это число, т.е.

В справедливости этого свойства можно убедиться,вычислив эти определители

Свойство 3.Определитель  равен нулю в следующихслучаях:

a)   одна из строкнулевая

,

б) две равные строки

в)  элементыдвух строк  пропорциональны

Всправедливости перечисленных свойств легко убедиться с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 4. Если две какие-либо строки определителя поменятьместами, то знак определителя изменится на противоположный

Доказательствоэтого свойства выполняется с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 5. Есливопределителе некоторая строка, например, первая является линейнойкомбинацией  двух строк с коэффициентами    и  

,

то определитель будетравен сумме двух определителей, определяемых формулой

Справедливостьэтого свойства можно доказать, сравнив значения левой и правой частейравенства, найденные с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 6. Величина определителяне изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементыдругой строки, умноженные на одно и то же число

      2.4.  Обратная матрица

Минором  к элементу  матрицы  -го порядка называется определитель -го порядка той матрицы, которая получается  из матрицы  в результатевычёркивания -ой строки и -го столбца.

О п р е д е л е н и е. Матрица Вназывается обратной матрице А, если

АВ=ВА=Е.

Символическиобратная матрица обозначается  . Вычисляется обратная матрица с помощью формулы

,

(5)

где   – алгебраическоедополнение к элементу .

 Вырожденнойматрицейназывается матрица, у которойопределитель равен 0.

Обратныематрицы могут иметь только невырожденные матрицы.

П р и м е р. Найти  матрицу, обратную кматрице  .

Р е ш е н и е. Вычисляемопределитель

.

Таккак определитель матрицы не равен нулю, то  существует. Найдемалгебраические дополнения:

      ;      

;                 

   ;    

Подставляемнайденные значения определителя матрицы и алгебраических дополнений в формулу(5) и  получаем искомое значение обратнойматрицы

.

Выполним  проверку, для чего вычислим

и

Как видим, оба произведенияравны единичной матрице. Значит, обратная матрица вычислена  верно.

2.5 Ранг матрицы

Рангомматрицы А называется число r,удовлетворяющее следующим двум требованиям:

1.            Существует минор  порядка r.

2.            Все миноры порядкаr+1 равны 0.

Наиболеепростой способ вычисления ранга матрицы сводится к приведению матрицы ктрапециидальному виду.

Пример:

Определитьранг матрицы А.

Домножаем первую строчку так, чтобы во второй и третьейполучились нули. В данном случае домножаем на 2 и 1

Повторяем те же действия, только теперь вторую строчкудомножаем на     (-1),чтобы в третьейполучились нули.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений имеетрешения (т.е. совместна)тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицыравен рангу основной матрицы.

2.6. Матричный способ решения СЛАУ

Выражение(1)-матричная форма записи системы.

Таккак матрица А невырожденная, она имеет обратную матрицу . Умножим равенство (1) слева на

Выражение(2) представляет собой решение в матричной форме.

Пример: решить систему.

Замечание:если главный определитель системы равен 0, то нужно выделить уравнения, длякоторых определитель не равен 0, а свободные переменные переносятся в правуючасть.

Источник: http://mlekc.narod.ru/matanlec/08_09_09.htm

Отдел права
Добавить комментарий